＞気合ポイントを消費することで毎日その日が始まる瞬間にあなたの持っている順列を並び替えることができます。 ある日におけるこの操作によって順列が並び替えられた結果は、翌日以降も持続しますか？

はい。持続します。

ハミング距離の定義は何ですか？ 通常の定義だと P_i != Q_i なる i の個数だと思うのですが、問題文で P_i = Q_i なる i の個数として使われている気がします

申し訳ありません。 正しくは、幸福度の定義は $N$ - (ハミング距離) となります。 後ほど問題文を修正いたします。